Tudod-e, hogy Cantor főtétele saját eszközeivel megcáfolható, s vele egész számosság és halmazelmélete?
Legyen adott egy n és egy m elemű halmaz, ahol m és n természetes számok. Mikor állítható párba a két halmaz? (Mikor állítható párba n fiú és m lány, hogy minden fiúnak és minden lánynak pontosan egy ellenkező nemű párja legyen?) Nyilván akkor és csak akkor ha m=n. Azaz különböző
elemszámú véges halmazok között nincs párosítás.
S ez nyilván igaz halmaz és hatványhalmaza között is. Hatványhalmaz a halmaz részhalmazai. Hiszen egy n elemű halmaznak éppen 2^n részhalmaza van, és nincs olyan n amire n=2^n lenne.
Például a {0,1,2} három elemű halmaznak 8 részhalmaza van, tehát hatványhalmaza 8 elemű: {{}{0}{1}{0,1}{2}{0,2}{1,2}{0,1,2}} vagyis 2^3, nincs tehát köztük párosítás.
Szirtesi András írta:
Egy további, immár nem geometriai példa szintén az euklideszi axiómák feltétlen érvényességét kérdőjelezte meg. A 8. axióma így szól: „Az egész nagyobb a résznél” [3, 47. o.]. Ez a kézenfekvőnek tűnő állítás végtelen halmazok esetében nem igaz. Egy végtelen halmaznak ugyanis mindig van olyan részhalmaza, amelyben ugyanannyi elem van, mint magában az egész halmazban. Például, a természetes számok {1,2,3,4,...} halmaza és a páros számok {2,4,6,8,...} halmaza ugyanannyi (végtelen) elemből áll, hiszen a két halmaz elemei egymással párba állíthatók.
Cantor azonban úgy vélte, hogy végtelen halmazokra ez a helyzet megváltozik. S ma ezt oktatják.
Erre ad példát Szirtesi András cikkében, s mutattam rá ennek nehézségére a két oszloppal, az első hozzászólásban. Mi azonban menjünk úgy tovább, mintha ez az elképzelés rendben lenne, vagyis, hogy n->2n, az N=>N párosítás lenne.
Cantor ezen felfedezése szükségesség tette egy új fogalomnak a bevezetését. Magyarul ez a számosság fogalma lett. Erre azért volt szükség, mert míg ha véges halmaz esetében különbözőek voltak az elemszámaik, akkor biztos nem volt köztük párosítás, addig végtelen halmazok esetében úgy tűnt egy elem – vagy akár az elemek fele – hiánya nem oszt nem szoroz. S ha van párosítás két végtelen halmaz között, akkor ne foglalkozzunk az elemszámával, jellemezzük ugyanazzal a számossággal. A véges halmazok esetében a számosság megegyezik az elemszámmal.
Cantor ezután azt vizsgálta, hogy vajon minden végtelen halmaz párosítható minden végtelen halmazzal. S azt találta, hogy nem. Úgy találta, hogy végtelen halmaz és hatványhalmaza között a számosság eltérő. Erről szól főtétele, amit N-re és hatványhalmazára P(N)-re mondunk ki, s mely tételre- ami meglátjuk igazából nem is tétel - épül az egész modern halmazelmélet.
Cantor főtétele: N számossága kisebb, mint P(N) számossága.
„Bizonyítás”. Tegyük fel, hogy P(N) felsorolható, vagyis van N=>P(N) párosítás.
Építsünk fel egy ellenpéldát. Vegyük azt a részhalmazt, melyben n akkor és csak akkor szerepeljen, ha a n. sorhoz rendelt részhalmazban nem szerepel. (Megjegyzés. Kapcsolódási pontok az eddigiekhez: Felfedezhető a kizárt harmadik elvénél tárgyalt módszer: ha nem akkor igen, ha igen akkor nem. Ezt a módszert Cantor átlós módszerének is nevezik, mert az n. sor n. elemét használja fel, vagyis mátrixban alkalmazva éppen a főátló elemeit. A megállási problémánál D is így lett definiálva, az önmagukat inputul kapó programokra, vagyis n. program n. inputja.) Szerepel-e az így létrejött részhalmaz a vizsgált felsorolásunkban? Nem hiszen minden sortól eltér valahol. Tetszőleges n. sort választva, n vagy csak a sorhoz rendelt részhalmazban szerepel, vagy csak a most előállítottban. Következtetés: feltételezésünk, hogy létezik N=>P(N) párosítás ellentmondásra vezetett, tehát N és P(N) számossága különböző, s nyilván N számossága a kisebb.
Látszólag a bizonyítás tökéletes. Ma is így oktatják, legalábbis minden változatban döntő elem az átlós módszer.
Most előállítunk egy felsorolást Cantor saját eszközeit használva. S megnézzük, hogy ezzel mit kezd az iménti bizonyítás.
Induljunk ki mondjuk az n->{n} párosításból. Vagyis a természetes számokat azon egy elemű halmazokkal párosítjuk, melyeknek egyetlen eleme éppen ők. Alkalmazzuk Cantor átlós módszerét. (Saját eszközét.) A kapott új részhalmaz az üres halmaz lesz, mivel minden elem szerepel saját sorában, így egy se kerül be. Amit kaptunk valóban nincs még a felsorolásban. Ezt most szúrjuk be véletlenszerűen választott sorba. - A véletlenszerűségnek az a jelentősége, hogy megakadályozza egy minta kialakulását, ami végleg kizárna egy sor potenciális elemet, amire az ellentábor joggal hivatkozhatna. - Vagyis a felsorolás e sorszámtól kezdve eggyel nagyobb sorszámra tér át, s a felszabadul helyre bekerül az üres halmaz. Cantor párosítás felfogása ezt megengedi. (Megjegyzés: Az interneten több cikk is elérhető a végtelen szállodáról, Hotel Infinity. Cantor saját eszközét használjuk.) Ez persze csak egy példa volt.
Az eljárás innentől a következő.
Az új felsorolást immár a felsorolásnak tekintjük. Megnézzük Cantor átlós módszerével sikerül-e hozzá ellenpéldát találni. (Saját eszköze.) Ha van ellenpélda, akkor véletlenszerűen beszúrjuk (Végtelen Szálloda elhelyezési politika, Cantor saját eszköze alapján.). S visszatérünk a bekezdés elejére. Ha nincs ellenpélda készen vagyunk ezt a felsorolást adjuk át Cantor bizonyításának.
Mit szól hozzá Cantor bizonyítása? Elakad az átlós módszer. Ugyanis ha találna ellenpéldát, akkor nyilván mi is találtunk volna, hisz pont az ő eljárását használtuk. Ha pedig találtunk volna nem lennénk itt beszúrtuk volna és az új felsorolással folytattuk volna a saját eljárásunkat.
Ezzel Cantor saját módszereivel előállítottunk egy olyan N=>P(N) párosítást, amelyre nem működik a Cantor főtételének „bizonyítása”. Vagyis mégiscsak van ilyen párosítás.
Íme egy rendszer, amiben valami és ennek ellentéte is igazolható. Az ilyen rendszer értelmetlen, mert itt minden hamis és igaz egyszerre, s így persze mindennek az ellentettje is.
Azért érdemes megkeresni hol tévedett Cantor, s miért olyan makacs ez a dolog, hogy ma is egyetemeken oktatják, mint ellentmondásmentesnek tartott dolgot.
Térjünk vissza az 1. hozzászólás két oszlopához, ahol demonstráltam, hogy az n->2n párosítás valójában nem N=>N párosítás. Vegyük most a következő esetet. Megint legyenek a kötelek n->n kifeszítve. S most ne tegyünk mást, csak a második oszlopon a köteleket húzzuk eggyel feljebb. (mint a végtelen szállodában). Ezzel az n=0 helye felszabadul. Mi történik viszont azzal a kötéllel, mely az első oszlop tetejéről indult? Egy kicsivel az 1m feletti pontba fog érkezni, vagyis kívül fog esni N-nen. Mit jelent ez? Azt, hogy a végtelen szálloda beköltözési módszere nem működik. Azaz például az n->{n} párosításba, amit már említettünk nem szúrható be az {}, azaz az üres halmaz.
Azaz Cantor elméletével szemben a végtelen halmazok esetében is szigorú elemszámokkal kell dolgoznunk, a számosság fogalmának semmi értelme. Végtelen halmazokra is igaz, hogy valódi részhalmazaik mindig kisebb elemszámúak, mint maga a halmaz.
Vegyük továbbá észre a következőt. Ha mátrix sorozatban ábrázoljuk az n elemű halmaz részhalmazait mégpedig, úgy hogy n egyesével szépen nő, akkor egy olyan mátrix sorozatot kapunk melynek sor/oszlop aránya végtelenbe tart, hiszen 2^n/n->oo, ha n->oo, szemléltetésül:
2/1, 4/2, 8/3, 16/4, 32/5, és így tovább.
Ha a halmazok rendre {0}, {0,1}, {0,1,2}, {0,1,2,3}, és így tovább, akkor ezek részhalmazainak felsorolása „határértékben” éppen P(N) egy felsorolása lenne. S mint jól meggondolható ez messze van a négyzetmátrixtól. Cantor bizonyítása viszont csak négyzetre működik. Hiszen csak a főátló elemeivel manipulál. Ám nézzük meg csak a módszerét bármely n elemű halmazra. Hiába állít elő az első n sor alapján egy ellenpéldát, az ott lesz az n. sor utáni egyik sorban, s máris nem lesz ellenpélda. Így van ez a határérték esetében is. Hiába a főátló. A főátló alatti sorokban meg fogja lelni az adott részhalmazt.
Erre mondhatja valaki, hogy na igen, de a főátló alatti sorok más nem természetes számokkal vannak sorszámozva, így ez nem N=>P(N) párosítás. Teljes mértékben igaza van. Ez az oszlopos példánál maradva már az 1m-en felüli terület. Csak az a baj ezzel Cantor elmélete számára, hogy ez már egy olyan halmazra is igaz, mely N-ből és akárcsak egyetlen plusz elemből áll. Példának láttuk {n} +{} esetét, ahol n felveszi az összes természetes szám értékét.
Jó, de mi legyen helyette? Kezdetnek jelöljük N elemszámát, mondjuk H+1-gyel. A H itt egy görög betű és nyilván N-re utal. A +1 technikai elem, amit amiatt használunk, mert 0-t egy ideje a természetes számok közé sorolják (1982). A berögződésekből azonnal előtörő ellenvetésekket most tegyük félre, vagyis azt amire gondolunk, felismerve H jelentését. Egyelőre H legyen simán csak egy jelölés. S innentől, ha az N halmazhoz hozzávesszük például az üres halmazt az új halmaz elemszámát jelölje H+2. Ha ezen új halmazból elvesszük mondjuk 0,1,3 elemeket akkor az elemszámot jelölje H-1. Szóval minden egyes elemi változást figyelembe veszünk.
Hogy csillapítsam a H tartalmát felismerők ellenvetését, hasonlítsuk össze Cantor jelölését ezzel az újjal. Cantor alef0-al – szóval a héber ábécé első betűjével és 0 indexszel – jelölte N számosságát. Mi pedig az elemszámát jelöltük H+1-gyel.
Induljunk ki az N halmazból. Induló értékeink: H+1 és alef0.
Vizsgálat: Ha a halmaz üres eljárásunknak vége, kiadjuk a kapott értékeket.
Egyébként: Dobjuk ki belőle a legkisebb elemet. Ha számossága ettől megváltozott, akkor cseréljük ki régit az új számosság jelére. Ha elemszáma megváltozott, akkor azt cseréljük le megfelelően.
Térjünk vissza a vizsgálatra.
Mit fog ez az eljárás kiírni? Azt hogy az üres halmaz elemszáma 0, számossága alef0! Vagyis az elemszámos követés tökéletesen működik, ám a Cantor elmélete megint megbukik, hiszen az üres halmazt párba állíthatónak nyilvánítja N-nel.
Miért? Mert nincs olyan lépés, ahol a számosság megváltozhatna - lévén egy elem elvétele az alef0 számosságon nem változtat - így azután az üres halmazt elérve is alef0 marad. Miközben persze az elemszám minden lépésben csökken eggyel, így amikor kidobjuk az utolsó elemet, akkor éri el a 0-t.
Tanulságos és ezért érdemes meggondolni a már kidobott elemek számának és a pillanatnyi elemszám párosának alakulását: (0,H+1), (1,H),(2,H-1), …, (H-1,2),(H,1)(H+1,0). Igen a páros tagjainak összege végig H+1. Az utoljára kidobott elem H.
S itt az ideje kitérni arra, hogy miért vörös posztó H. Mit is a tartalmi jelentése? A legnagyobb természetes szám. Hoppá, de az nem létezik! Csöbörből vödörbe jutottunk?
Folytatjuk (to be continued)
